1. 热传导方程式的热传导
2. 热传导方程
热传导方程(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
1、热传导方程的导出:
模型: 给定一空间内物体G,设其上的点(x,y,z)
在时刻t的温度为 u(x,y,z,t)。
问题: 研究温度u(x,y,z,t)的运动规律。
2、温度时间空间:
在其中:u=u(t,x,y,z)表温度,它是时间变化t与空间变化(x,y,z)的涵数;k是热扩散系数率,决策于原材料的热传导率,相对密度与比热容。
3、唯一解
假如考虑到的物质并不是全部空间,则为了更好地获得方程式的唯一解,务必选定u的初始条件。假如物质是全部空间,为了更好地获得唯一性,务必假设解的增长速度有一个指数型的上界,此假设符合试验结果。
热方程式操纵导热以及它对外扩散全过程,例如颗粒对外扩散或神经元细胞的动作电势差。热方程式还可以做为一些金融业状况的实体模型,例如布莱克-斯科尔斯实体模型与Ornstein-Uhlenbeck全过程。
3. 热传导方程
齐次热传导方程 : 非齐次热传导方程 :
当物体体积很大,考虑时间很短和较小范围内的温度变化情况,边界条件所产生的影响可以忽略,这时就不放吧考察的物体视为充满整个空间,而定解问题就成为 柯西问题 ,此时初始条件为
扩散方程 称为 扩散系数 ,总取正值.
扩散方程为
如果 是常数,记 ,扩散方程就化为与热传导方程完全相同的形式.
初边值问题:
为正常数.
Sol: 分离变量法 令 代入方程有 于是 只有两边均等于常数时才成立. 令此常数为 ,则有
由边界条件得
当 时,只有平凡解 当 时,
利用边界条件 得 ,利用第二个边界条件知
为使 为非平凡解, 应满足
即 应是下述超越方程的正解:
令
则变为
可知有无穷多个正根 ,满足 .
及相应的固有函数
同样可以解得
于是得到一列可分离变量的特解
用叠加原理构造级数形式的解
又
于是得到
于是得到初边值问题 的形式解为
设 是定义在 上的函数,它在 上有异界连续导数,则在 中 可以展开为傅里叶级数
并且
该积分表达式称为 的 傅里叶积分 .
称 为 的 傅里叶变换 ,记为
称 为 的 傅里叶逆变换 ,记为 .
当 在 上连续可导且绝对可积时,它的傅里叶变换存在,且逆变换等于 .
性质 1 线性变换 其中 , 为函数.
如果对给定的 ,当 时,
存在,则称 为 与 的 卷积 ,记为 . 显然,当 为绝对可积时, ,即卷积是可以交换的.
性质 2 和 的卷积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的乘积,即
性质 3 和 乘积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的卷积乘以 ,即
性质 4
如果 都是可以进行傅里叶变换的,而且当 时, ,则成立
性质 5
如果 及 都可以进行傅里叶变换,那么
热传导方程柯西问题的求解
解为
也成为泊松公式.
非齐次热传导方程的柯西问题
解为
由叠加原理可以得到柯西问题的解为
的解为
第一类边值问题中:
热传导方程的初边值问题
在区域 上的解是唯一的,而且连续地依赖于边界 上所给定的初始条件及边界条件.
对任意给定的 ,热传导方程的初边值问题在 上的解是唯一的,且连续地依赖于初值 以及边界条件中的函数 .
柯西问题
在有界函数类中的解是唯一的,而且连续依赖于所给的初始条件.
假设初始函数 满足 则当 趋于无穷时,问题 的唯一的经典解指数衰减地趋于零,确切地说,当 时,对一切 ,
其中 为一个与解无关的正常数.
这个唯一经典解是
如果 收敛,则称 ,并记
设 是由解连续函数,且 ,则柯西问题
的唯一经典解具有如下的渐近性态:对一切 ,当 时,一致地连续
其中 为一个仅与 及 有关的正常数.
4. 热传导方程的介绍
热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。
5. 热传导方程式的介绍
热传导方程式(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达,其中u =u(t, x, y, z) 表温度,它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间坐标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程唯一解,必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。
6. 热传导方程式的简介
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质,这代表热从高温处向低温处传播。一般而言,许多不同的初始状态会趋向同一个稳态(热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态,即使对极短的时间间隔也一样。热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。利用拉普拉斯算子,热方程可推广为下述形式其中的 Δ 是对空间变量的拉普拉斯算子。热方程支配热传导及其它扩散过程,诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型,诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式(但时间参数为纯虚数),本质却不是扩散问题,解的定性行为也完全不同。就技术上来说,热方程违背狭义相对论,因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计,但是若要为热传导推出一个合理的速度,则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
7. 热传导方程式的应用
热方程在许多现象的数学模型中出现,而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程,并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解,因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解,此方法也可用于许多无解析解的模型(详见文献 Wilmott,1995)。热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一,由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。
8. 热传导方程式的解热方程
在理想状态下一根棍子的热传导,配上均匀的边界条件。方程式如下:其中u=u(t,x) 是t和x的双变量函数。x是空间变量,所以x∈ [0,L],其中L表示棍子长度。t是时间变量,所以t≥ 0。 假设下述初始条件其中函数f是给定的。再配合下述边界条件让我们试着找一个非恒等于零的解,使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式:这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程式 (1),由于等式右边只依赖x,而左边只依赖t,两边都等于某个常数 − λ,于是:以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解:假设 λ 0,此时存在实数A、B、C使得 从等式 (3) 可知C= 0,因此存在正整数n使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。一般而言,满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出。