数学论文范文3000字

1. 数学论文范文3000字

　　因为,你的幸福有着自你心灵深处发出的声音,你能听得到吗?那是来自天籁的如银铃般的声音,你听,多美妙啊!
　　寒梅独处
　　冬天已至,纷纷扬扬的大雪给大地铺上了一层厚厚的白衣,在这白色的世界里,老天却把寒梅赐给了人间,让这寒梅去点缀白雪点缀人间.
　　寒风拂动着它身上的雪,把它那厚厚的衣裳脱下,显现出那红色的肌肤.把梅香夹在风里随它飘走,送入我们鼻子里,给寂寞的冬季带来一份清新.我望着那红梅想着,在这寂寞的冬季里独自开着它是否幸福?
　　春天百花争艳的时候它默默地开始了漫长的等待.桃花、梨花、杜鹃她们争着显示自己,把自己心情尽怀情操地显示出来以获得百花之王的美名.它们幸福吗?寒梅不屑于这些,并不是梅花赛不过它们,它觉得争着炫耀的生活太累,它认为幸福是平淡的,是用自己的心灵去感受的而不是用自己的外表炫耀来争得别人夸奖的.
　　秋天是果子满树热闹非凡的时候,而此时的梅花正为冬季蓄积能量.在无人注视的季节里默默耕作.这是一种充实的生活,它说这充实的生活就是幸福.
　　好不容易到了冬季,到了它开放的季节,而此时凛冽的寒风不断地阻击着它,低温不断地阻挠着花苞的绽开,而它却默默地承受着.风一阵阵地吹过,枝条在不断地摆动着,那花苞仿佛要被摇落下来,一阵,一阵……几天的大风过了,而花苞像沾在枝上似的依旧紧抓着它不放,并一直吸收着养份,呼吸着寒气在风停后绽放出来.不经过风雨怎能见到彩虹,不经寒风洗礼寒梅怎么发香.这是一种抗争的伟大,寒梅在这寒风中体验着幸福.
　　似乎上天在把寒梅赐予人间时便赐予了它忍受寂寞,把它安排在百花绝迹的冬天,只有它的敌人——冰雪与它为伴,自己独自开着又自已默默地回归大地,然而它却不埋怨这种待遇,而把它看作是上天的馈赠,它依然开得那么的活泼,那么的可爱,永远像一位朝气蓬勃的年轻人.寂寞并不可怕,只要它拥有一颗会看待自己的心,有一颗乐观的心,它依然拥有幸福.
　　幸福是什么?幸福是独处的寒梅,是那种能在平凡中寻找欢乐,能用

2. 求一篇数学论文，3000字

浅谈数学课程的设计
数学课程问题一直是数学教学改革的中心问题，也是数学教育科学研究的中心问题之一。从1958年以来笔者参加了多次数学课程设 ,数学课程设计、教材编写、实验研究，从三十余年的实践中形成了关于数学课程发展规律的一些认识。影响、制约、决定数学课程发展的因素主要是三个方面：社会、政治、经济方面的需求，数学发展和教育发展的需求。数学课程的发展决定于这三个方面需求的和谐统一，本文基于《中学数学实验教材》（以下简称《实验教材》)的实验着重探讨这三者如何和谐统一推动数学课程的发展。 

一、我国社会发展对数学课程的要求 

促进数学课程发展的众多动力中，没有比社会发展这一动力更大的了，社会发展的需要主要包括：社会生产力发展的需要，经济和科学技术发展的需要和政治方面的要求。 我国社会发展对数学课程提出了以下要求。 

（一）目的性 

教育必须为社会主义经济建服务。这就要求数学课程要有明确的目的性，即要为社会主义经济建设培养各级人才奠定基础，为提高广大劳动者的素质做出贡献。当今社会正由工业社会向信息社会过渡，在信息社会里多数人将从事信息管理和生产工作；社会财富增加要更多地依靠知识；知识更新、技术进步周期和人的职业寿命都在日益缩短，要适应日新月异的社会，必须把劳动者的素质、才能提到极重要的位置，而且要使他们具备终身学习的能力。 

（二）实用性 

数学课程的内容应具有应用的广泛性，可以运用于解决社会生产、社会生活以及其他学科中的大量实际问题；运用于训练人的思维。应该精选现代社会生和生活中广泛应用的数学知识作为数学课程的内容。另外，还要考虑其他学科对数学的要求。数学课程还应满足现代科学技术发展的需要，加进其中广泛应用的数学知识，如计算机初步知识、统计初步知识离散概率空间、二项分布等概率初步知识。 

数学不仅是解决实际问题的工具，而且也广泛用来训练人的思维，培养有数学素养的社会成员，要使学生懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学思想方法。 

（三）思想性和教育性 

我们培养的人应该有理想、有道德、有文化、有纪律、热爱社会主义祖国和社会主义事业，具有国家兴旺发达而艰苦奋斗的精神；应当不断追求新知、实事求是、独立思考、勇于创新，具有辩证唯物主义观点。这就要求数学课程适当介绍中国数学史，以激发学生的民族自豪感。用辩证唯物主义观点来阐述课程内容，有意识地体现数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点。体现运动、变化、相互联系的观点。 

《实验教材》用“精简实用”的选材标准来满足这些要求。 

二、数学的发展对数学课程的要求 

（一）中学数学课程应当是代数、几何、分析和概率这四科的基础部分恰当配合的整体 

数学研究对象是现实世界的数量关系和空间形式。基础数学的对象是数、空间、函数，相应的是代数、几何、分析等学科，它们是各成体系但又密切联系的。现代数学中出现了许多综合性数学分支，都是在它们的基础上产生并发展起来的，研究的思想方法也是它们的思想方法的综合运用。代数、几何、分析在相邻学科和解决各种实际问题中都有广泛应用，所以中学数学课程应当是它们恰当配合的整体。曾经出现过的把中学课程代数结构化（如“新数”）的设计方案。“以函数为纲”使中学数学课程分析化的设计方案都不成功，正是没有满足这一要求。 

（二）适当增加应用数学的内容 

应用数学近年来蓬勃发展，出现了许多新的分支和领域，应用范围也在日益扩大，这种形势也要求在中学数学课程中有所反映。从“新数运动”开始，各国数学课程内容中陆续增加了概率统计和计算机的初步知识。这一方面说明概率统计和计算机知识在社会生产和社会生活中的广泛应用，另一方面也说明数学的发展扩大了它的基础，对中学数学课程提出了新的要求。

3. 求大学数学论文3000字左右。

微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。 



微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。 

十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 

1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。

4. 跪求一篇数学鉴赏小论文，3000字以上。。

高中数学论文：谈影响高中数学成绩的原因及解决方法 

  有人这样形容数学：“思维的体操，智慧的火花”。在当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动了社会生产力的发展。数学是人类文化的重要组成部分，已成为公民所必须具备的一种基本素质。数学在形成人类理性思维的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。作为衡量一个人能力的重要学科，从小学到高中绝大多数同学对它情有独钟，投入了大量的时间与精力。然而并非人人都是成功者，许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟头就栽在数学上。笔者在2002年暑假期间参加新疆高中数学骨干教师培训时，有几位给我们授课的文科专家学者，就谈到自己在上高中时虽然很想学好数学，可就是数学成绩提不高，最怕见高中数学老师。这种“惧怕”高中数学的现象目前是比较普遍的，应当引起重视。当然造成这种现象的原因是多方面的，本文仅就从学生的学习状态方面浅谈如下： 

  面对众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，笔者对他们的学习状态进行了研究、调查表明，造成成绩滑坡的主要原因有以下几个方面。 

  1.被动学习。许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。没有真正理解所学内容。 

  2.学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 

  3.不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹜远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。 

  4.进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数在闭区间上的最值问题，函数值域的求法，实根分布与参变量方程，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际应用问题等。客观上这些观点就是分化点，有的内容还是高初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，分化是不可避免的。 

  高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。针对学生学习中出现的上述情况，教师应当采取以加强学法指导为主，化解分化点为辅的对策： 

  1.加强学法指导，培养良好学习习惯。

  良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 

  制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。 

  课前自学是学生上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲课的思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。 

  上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可略；什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。 

  及时复习是高效率学习的重要一环，通过反复阅读教材，多方查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。 

  独立作业是学生通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程是对学生意志毅力的考验，通过运用使学生对所学知识由“会”到“熟”。 

  解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿出来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到“活”。 

  系统小结是学生通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与有关资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系。以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。 

  课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富学生的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能满足和发展他们的兴趣爱好，培养独立学习和工作能力，激发求知欲与学习热情。 

  2.循序渐进，防止急躁 

  由于学生年龄较小，阅历有限，为数不少的高中学生容易急躁，有的同学贪多求快，囫囵吞枣，有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就，有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。针对这些情况，教师要让学生懂得学习是一个长期的巩固旧知识、发现新知识的积累过程，决非一朝一夕可以完成，为什么高中要上三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 

  3.研究学科特点，寻找最佳学习方法 

  数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，埋头做题不总结积累不行，对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、整理、作业）和一个步骤（复习总结）是少不了的。 

  4.加强辅导，化解分化点 

  如前所述高中数学中易分化的地方多，这些地方一般都有方法新、难度大、灵活性强等特点。对易分化的地方教师应当采取多次反复，加强辅导，开辟专题讲座，指导阅读参考书等方法，将出现的错误提出来让学生议一议，充分展示他们的思维过程，通过变式练习，提高他们的鉴赏能力，以达到灵活掌握知识、运用知识的目的。

5. 求一个数学方面的论文，都可以,3000字。

哀荣 安富尊荣 安荣 尊荣 
追荣 滋荣 鲜荣 昼锦之荣 
昼锦荣归 昼荣 朱荣 知遇之荣 
知荣守辱 郑凤荣 章荣 玉荣 
余荣 雍荣闲雅 雍荣雅步 雍荣尔雅 
雍荣华贵 遗荣 义荣 遗芬余荣 
衣锦荣归 衣锦荣归 衣锦之荣 一命之荣 
引以为荣 阳荣 耀祖荣宗 一顾之荣 
虚荣 虚荣心 馨荣 新荣 
欣欣向荣 欣荣 萧敷艾荣 向荣 
显荣 乡荣 郄诜荣 显祖荣宗 
希荣 西荣 五荣 晩荣 
偷荣 脱荣 梯荣阶禄 
威荣 梯荣 贪冒荣宠 体育运动荣誉奖章 
田中角荣 贪荣冒宠 贪荣慕利 贪荣 
虽死犹荣 私荣 素荣 蕣荣 
输荣 衰荣 舒荣 世路荣枯 
死生荣辱 熟荣 时荣 殊荣 
世荣 升荣 生荣死哀 生荣没哀 
生荣殁哀 生荣死衰 升沉荣辱 生荣 
盛衰荣辱 生死荣辱 生荣亡哀 上荣 
苕荣 声荣 森荣 傲世妄荣 
班荣 本固枝荣 朝荣 朝荣暮落 
朝荣夕毙 朝荣夕悴 朝荣夕灭 本盛末荣 
陛荣 碧荣 避荣 宾荣 
持禄取荣 不以为耻，反以为荣 采荣 草木荣枯 
柴荣 嚵荣 春荣 成败荣枯 
宠荣 侈荣 辞荣 垂荣 
初荣 冬荣 存荣没哀 东荣 
大东亚共荣圈 丹荣 德荣兼备 得失荣枯 
叨荣 发荣 恩荣宴 飞荣 
敷荣 遁荣 遁世遗荣 恩荣 
繁荣昌盛 繁荣 恩荣并济 繁荣兴旺 
发荣滋长 奋荣 繁荣富强 丰荣 
浮荣 夫荣妻贵 夫贵妻荣 夫荣妻显 
富贵尊荣 富贵荣华 富贵显荣 割荣 
共存共荣 含荣 官荣 光荣花 
光荣榜 厚禄重荣 光荣革命 归荣 
光荣孤立政策 光荣 寒荣 辉荣 
徽荣 胡荣华 华荣 欢荣 
煌荣 骄荣 极荣 嘉荣 
兼荣 侥荣 进荣退辱 进退荣辱 
旧荣新辱 阶荣 槿荣 伉俪荣谐 
科荣 开荣 枯木发荣 况荣 
枯荣 乐道遗荣 列荣 罗荣桓 
媚外求荣 卖国求荣 卖主求荣 卖友求荣 
陆荣廷 履荣 冒荣 密荣 
内荣 南荣 聂荣臻 妻荣夫贵 
前荣 乞宠求荣 求荣反辱 荣枯 
荣伸 荣将 荣览 荣美 
荣牒 荣改 荣誉 荣达 
荣冕 荣华 荣抃 荣怀 
荣荷 荣味 荣落 荣辱得失 
荣爵 荣冠 荣归 荣侍 
荣昌 荣光 荣楯 荣草 
荣色 荣顾 荣目 荣熙 
荣谢 荣荐 荣践 荣援 
荣干 荣辉 荣章 荣转 
荣适 荣辱升沉 荣赏 荣进 
荣罗 荣嬿 荣宝斋 荣获 
荣槁 荣膺 荣秀 荣年 
荣辱 荣谈 荣竞 荣行 
荣陨 荣序 荣近 荣衔 
荣幸 荣庵 荣瘁 荣泽 
荣富 荣谐伉俪 荣升 荣映 
荣纳 荣典 荣观 荣旺 
荣位 荣愿 荣鲜 荣利 
荣国 荣显 荣焰 荣齿 
荣伍 荣峻 荣卫 荣古虐今 
荣泰 荣叟 荣歇 荣志 
荣埶 荣禄 荣涂 荣渥 
荣资 荣椽 荣荣汪汪 荣膴 
荣启期 荣衰 荣名 荣气 
荣寄 荣哀 荣期 荣燕 
荣膺鹗荐 荣敷 荣古陋今 荣趎 
荣势 荣冀 荣露 荣魄 
荣泉 荣阿 荣公 荣区 
荣忝 荣业 荣耀 秋荣 
荣赫 荣耻 荣问 荣猿 
荣赐 荣滋 荣吝 荣羡 
荣任 荣崇 权荣 荣班 
荣除 荣誉军人 荣擢 荣乐 
荣木 荣戚 荣条 荣品 
荣忭 荣福 荣贱 荣阀 
荣勋 荣镜 荣慕 荣秩 
荣贵 荣荂 荣雕 荣路 
荣纷 荣身 荣贯 荣华富贵 
荣弹 荣惧 荣赉 荣荣 
荣级 荣养 荣芬 荣悴 
荣盛 荣祚 荣侍下 荣亲 
荣褒 荣宠 荣庆 荣茂 
荣畅 荣爱 荣启 荣宗耀祖 
荣命 荣军 荣施 荣声 
荣望 荣遇 荣逸 荣称 
荣科 荣翰 荣仕 荣郁 
荣曜 荣庇 荣润 八荣八耻

6. 数学小论文 300字以上

大千世界，无奇不有，在我们数学王国里也有许多有趣的事情。比如，在我现在的第九册的练习册中，有一题思考题是这样说的：“一辆客车从东城开向西城，每小时行45千米，行了2.5小时后停下，这时刚好离东西两城的中点18千米，东西两城相距多少千米？王星与小英在解上面这道题时，计算的方法与结果都不一样。王星算出的千米数比小英算出的千米数少，但是许老师却说两人的结果都对。这是为什么呢？你想出来了没有？你也列式算一下他们两人的计算结果。”其实，这道题我们可以很快速地做出一种方法，就是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米），但仔细推敲看一下，就觉得不对劲。其实，在这里我们忽略了一个非常重要的条件，就是“这时刚好离东西城的中点18千米”这个条件中所说的“离”字，没说是还没到中点，还是超过了中点。如果是没到中点离中点18千米的话，列式就是前面的那一种，如果是超过中点18千米的话，列式应该就是45×2.5＝ 112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。所以正确答案应该是：45×2.5＝112.5（千米）， 112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米）和45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米）， 94.5×2＝189（千米）。两个答案，也就是说王星的答案加上小英的答案才是全面的。 
在日常学习中，往往有许多数学题目的答案是多个的，容易在练习或考试中被忽略，这就需要我们认真审题，唤醒生活经验，仔细推敲，全面正确理解题意。否则就容易忽略了另外的答案，犯以偏概全的错误。

7. 三百字数学小论文一篇

有一天，我跟妈妈去逛商场。妈妈进了超市买东西，让我站在付钱的地方等她。我没什么事，就看着营业员阿姨收钱。看着看着，我忽然发现营业员阿姨收的钱都是1元、2元、5元、10元、20元、50元的，我感到很奇怪：人民币为什么就没有3元、4元、6元、7元、8元、9元或30元、40元、60元呢？我赶快跑去问妈妈，妈妈鼓励我说：“好好动脑筋想想算算，妈妈相信你能自己弄明白为什么的。”我定下心，仔细地想了起来。
过了一会儿，我高兴地跳了起来：“我知道了，因为只要有1元、2元、5元就可以随意组成3元、4元、6元、7元、8元、9元，只要有10元、20元、50元同样可以组成元、40元、60元……”妈妈听了直点头，又向我提了一个问题：“如果只是为了能随意组合的话，那只要1元不就够了吗？干吗还要2元、5元呢”我说：“光用1元要组成大一点的数就不方便了呀。这下妈妈露出了满意的笑容，夸奖我会观察，爱动脑筋，我听了真比吃了我最喜欢吃的冰激凌还要舒服在此，我也想告诉其他的小朋友：其实生活中到处都有数学问题，只要你多留心观察，多动脑思考，你就会有很多意外的发现，不信你就试一试！

8. 数学小论文1500字

魅力无比的定理证明 
——勾股定理的证明 

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 
1．中国方法 
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 







左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 
a2+b2=c2。 
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 
2．希腊方法 
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 
容易看出， 
△ABA’ ≌△AA’’ C。 
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 
于是， 
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 
即 a2+b2=c2。 
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： 
⑴ 全等形的面积相等； 
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 
如图， 
S梯形ABCD= (a+b)2 
= (a2+2ab+b2)， ① 
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED 
= ab+ ba+ c2 
= (2ab+c2)。 ② 
比较以上二式，便得 
a2+b2=c2。 
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 
我们发现，把①、②两式相加可得 
BC2+AC2=AB（AD+BD）， 
而AD+BD=AB， 
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 
a2+b2=c2。 
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 
c2=a2+b2-2abcosC， 
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 
a2+b2=c2。 
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 
如此等等。 

【附录】 
一、【《周髀算经》简介】 
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 

二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】 
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 

转引自：http://tw.ntu.edu.cn/education/yanjiu/中“数学的发现”栏目。图无法转贴，请查看原文。 



魅力无比的定理证明 
——勾股定理的证明 

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 
1．中国方法 
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 







左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 
a2+b2=c2。 
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 
2．希腊方法 
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 
容易看出， 
△ABA’ ≌△AA’’ C。 
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 
于是， 
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 
即 a2+b2=c2。 
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： 
⑴ 全等形的面积相等； 
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 
如图， 
S梯形ABCD= (a+b)2 
= (a2+2ab+b2)， ① 
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED 
= ab+ ba+ c2 
= (2ab+c2)。 ② 
比较以上二式，便得 
a2+b2=c2。 
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 
我们发现，把①、②两式相加可得 
BC2+AC2=AB（AD+BD）， 
而AD+BD=AB， 
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 
a2+b2=c2。 
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 
c2=a2+b2-2abcosC， 
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 
a2+b2=c2。 
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 
如此等等。